Exercice 1 (Questionnaire)
Soient \((\Omega; \mathcal{A}; P)\) un espace de probabilité, \(X\) et \(Y\) des v.a.r., \(T\) une v.a. à valeurs dans \(\mathbb{R}^d\).
Que peut-on dire, sous réserve d’hypothèses d’intégrabilité adéquates, des espérances conditionnelles suivantes :
- \(\mathbb{E}(f(T)\mid T)\) avec \(f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\) borélienne,
- \(\mathbb{E}(X\mid T)\) avec \(X\) \(\ \sigma(T)\)-mesurable,
- \(\mathbb{E}(XY \mid T)\) avec \(X \ \sigma(T)\)-mesurable,
- \(\mathbb{E}(f(X)\mid T)\) avec \(f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\) borélienne, \(X\) et \(T\) indépendantes,
- \(\mathbb{E}(\mathbb{E}(X \mid T))\),
- \(\mathbb{E}[S_{10} |S_{8}]\) lorsque \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) et les \((X_i)_{i \ge 1}\) sont i.i.d.,
- \(\mathbb{E}[S_{31}\mid X_1]\) lorsque \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) et les \((X_i)_{i \ge 1}\) sont i.i.d.,
- \(\mathbb{E}[\Pi_{4} \mid \Pi_2]\) lorsque \(\Pi_n = \prod_{i=1}^n X_i\) et les \((X_i)_{i \ge 1}\) sont i.i.d.,
- \(\mathbb{E}[\phi(X,Y) \mid Y]\) lorsque \(X\) et \(Y\) sont indépendantes,
- \(\mathbb{E}[f(S_2+X_8) \mid S_2]\), lorsque \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) et les \((X_i)_{i \ge 1}\) sont i.i.d.
Exercice 2
On considère un processus de Galton-Watson de loi de branchement \[ \mathbb{P}(\xi=0)= \mathbb{P}(\xi=2)=1/2.\] issu à la génération \(0\) d’un unique individu ancestral. On note \(Z_n\) la taille de la population à la génération \(n\).
Exprimer \(\mathbb{E}[(Z_{2}-1)^2 \mid Z_1].\)