NoteTD II : Espérances et lois conditionnelles

22 Septembre 2025-26 Septembre 2025

• Master I Isifar

• Probabilités

Exercice 1 (Espérance conditionnelle/tribu atomique)  

NoteCours

Espérance conditionnelle par rapport à une tribu engendrée par une partition dénombrable.

1. Soit \((A_n, n \in \mathbb{N}^*)\) une partition de \(\Omega\) et \(\mathcal{F}= \sigma(A_n, n \ge 1)\) la tribu engendrée par les \(A_n, n \ge 1\). Rappelons qu’une v.a.r. \(Y\) est \(\mathcal{F}\)-mesurable si et seulement si il existe une suite de réls \((a_n)\) telle que \(Y= \sum_{n \ge 1} a_n \mathbf{1}_{A_n}\). Exprimer \(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{F}]\).

2. Soient \(X,Y\) deux variables i.i.d. \(\sim\) Ber\((p)\). On considère \(\mathcal{G} = \sigma(\{X+Y=0\})\). Calculer \(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}], \mathbb{E}[Y\mid \mathcal{G}]\). Les variables obtenues sont-elles toujours indépendantes?

Exercice 2 (Conditionnement continu)  

Soient \((X,Y)\) un couple de v.a. réelles intégrables de densité jointe \(f\), \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) borélienne telle que \(g(X,Y) \in \mathbb{L}^1\).

Rappeler l’expression de \(\phi, \psi\) telles que \[\mathbb{E}[g(X,Y)\mid Y] = \phi(Y), \quad \mathbb{E}[g(X,Y)|X] = \psi(X).\]

1. On considère \((X,Y)\) de densité jointe \(f(x,y)= \frac{1}{x} \mathbf{1}_{\{0 \le y \le x \le 1\}}.\) Quelle est la loi de \(X\)? Calculer la distribution conditionnelle \(f_{Y \mid X}\) de \(Y\) sachant \(X\). Calculer \(\mathbb{P}(X^2 +Y^2 \le 1 |X)\), puis en déduire \(\mathbb{P}(X^2+Y^2 \le 1)\).

   Pour simplifier l’expression obtenue on pourra utiliser que \(x \to \sqrt{1-x^2} - \tanh^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{1-x^2}) + \frac{1}{2} \ln(1-\sqrt{1-x^2})\) est une primitive de \(x \to \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\).

2. Dans le cas général, montrer que \(\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]] = \mathbb{E}[Y]\). Que vaut \(\mathbb{E}[Y]\) dans l’exemple de la question précédente?

3. Montrer, dans le cas général, que \[\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X] g(X)] = \mathbb{E}[Yg(X)],\] pour toute fonction \(g\) telle que les deux espérances sont définies. Que vaut \(\mathbb{E}[Y g(X) \mid X]\)?

Exercice 3 (Partiel passé)  

NotePartiel passé

Soient \(0 \le r \le p \le 1\) tels que \(1-2p+r \ge 0\).

Soient \(X_1, X_2\) tels que

\[\begin{eqnarray*} && \mathbb{P}(X_1=1, X_2=1)=r, \quad \mathbb{P}(X_1=0, X_2=1)=p-r, \\ && \mathbb{P}(X_1=1, X_2=0)=p-r, \quad \mathbb{P}(X_1=0, X_2=0)=1-2p+r. \end{eqnarray*}\]

1. Quelle est la loi de \(X_1\)? celle de \(X_2\)?

2. Calculer \(Y = \mathbb{E}[X_1\mid X_2]\) et vérifier que

   \[Y= \begin{cases} & \frac{p-r}{1-p} \mbox{ avec probabilité } 1-p\\ & \frac{r}{p} \mbox{ avec probabilité } p.\end{cases}\]

3. Rappelons que par définition \(\text{Var}[X_1 \mid X_2] = \mathbb{E}[X_1^2\mid X_2] - \mathbb{E}[X_1\mid X_2]^2\). Montrer que

   \[\mathrm{Var}[X_1 \mid X_2] = \left( \frac{p-r}{1-p} - \left(\frac{p-r}{1-p}\right)^2 \right) \mathbf{1}_{\{X_2=0\}} + \left( \frac{r}{p} - \left(\frac{r}{p}\right)^2 \right) \mathbf{1}_{\{X_2=1\}}.\]

4. Que vaut \(\mathrm{Var}(\mathbb{E}[X_1\mid X_2])\)? \(\mathbb{E}[\mathrm{Var}[X_1\mid X_2]]\)? Vérifier qu’on a bien

   \[\mathrm{Var}(X_1) = \mathrm{Var}(\mathbb{E}[X_1\mid X_2]) + \mathbb{E}[\mathrm{Var}[X_1\mid X_2]].\]

Exercice 4 (Conditionnement)  

Soit \((X_n)\) une suite de v.a. .i.i.d intégrables, et \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\).

1. Que valent \(\mathbb{E}[X_1\mid X_2], \mathbb{E}[S_n \mid X_1], \mathbb{E}[S_n \mid S_{n-1}]?\)
2. Montrer que si les paires de variables \((X,Z)\), \((Y,Z)\) ont la même loi jointe, alors pour toute fonction réelle positive (ou satisfaisant une condition d’intégrabilité), \(\mathbb{E}[f(X)\mid Z] = \mathbb{E}[f(Y)\mid Z]\). En déduire \(\mathbb{E}[X_1 \mid S_n]\).

Exercice 5 (Examen passé)  

Note(Examen passé)

Soit \((X_n, n \ge 0)\) une suite de variables i.i.d, avec \(X_1 \sim \text{Ber}(1/2)\). On pose \(S_n = \sum_{i=1}^n (X_i -1/2)\), \(\mathcal{F}_n= \sigma(X_1,...,X_n)\).

Calculer \(\mathbb{E}[S_n \mid \mathcal{F}_5]\) en fonction de \(n\). Quelle est la loi de cette variable aléatoire?

Exercice 6 (Partiel passé)  

Soient \(\{\mathbf{e}_i, i \in \mathbb{N} \}\) des variables i.i.d exponentielles de paramètre \(1\). Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) on note \(S_n := \sum_{i=1}^n \mathbf{e}_i\).

1. On note \(f_n\) la fonction de densité de la variable \(S_n\). Montrer que pour tout \(t \ge 0\) \[ f_n(t) = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \exp(-t).\]
2. Pour \(t >0, n \in \mathbb{N}^*\), que vaut \(\mathbb{P}(S_n \le t)\)?
3. On fixe \(t>0\) et on suppose \(X_t \sim \mathrm{Poisson}(t)\). Que vaut \(\mathbb{P}(X_t \ge n)\), pour \(n \in \mathbb{N}^*\)?
4. Sur la demi-droite \(\mathbb{R}_+\) on place les points \(S_1, S_2, S_3,...\). On note \(N_t\) le nombre de ces points qui tombent dans l’intervalle \([0,t]\). Exprimer l’événement \(\{N_t \ge n\} = \{S_n \le t\}\). Déterminer la loi de \(N_t\) à l’aide des questions préc'dentes.
   
5. Montrer que, conditionnellement à \(\{N_t=1\}\), la loi de \(\mathbf{e}_1\) est uniforme sur \([0,t]\).
6. Conditionnellement à \(\{N_t=2\}\), quelle est la loi du vecteur \((\mathbf{e}_1; \mathbf{e}_2)\)?

Exercice 7 (CC2 2023)  

On considère \[ X \sim \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}\right).\]

1. Calculer \(\mathbb{E}[X_3 \mid X_4]\), et déterminer la loi conditionnelle de \(X_3\) sachant \(X_4\).
   
2. On pose \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), \(B= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\). Calculer \(BA^{-1}\), puis vérifier que \[B A^{-1} B^T = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \vspace{0.1cm} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}.\]
3. Déterminer \(\mathbb{E}\left[\begin{pmatrix} X_3 \\ X_4 \end{pmatrix} \ \bigg| \ \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}\right]\). et la loi conditionnelle de \(\begin{pmatrix} X_3 \\ X_4 \end{pmatrix}\) sachant \(\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}\).

Exercice 8 (Partiel passé)  

Soit \((X_1,X_2,X_3) \sim \mathcal{N}(\mu, M)\) où \[\mu = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]

1. Quelle est la loi du couple \((X_1,X_2)\)?
2. Déterminer \(\alpha\) un réel tel que $Y = X_1 + X_2 $ est indépendante de \(X_1\). Que vaut \(\mathbb{E}[Y]\)? \(\text{Var}(Y)\)?
3. En déduire \(\mathbb{E}[X_2 \mid X_1]\). Quelle est la loi conditionnelle de \(X_2\) sachant \(X_1\)?
4. Déterminer un réel \(\beta\) tels que \(Z=\beta X_1 + X_3\) est indépendante de \(X_1\). En déduire \[\mathbb{E}[X_3 \mid X_1], \quad \mathbb{E}[X_3^2 \mid X_1].\]
5. Calculer \(\mathbb{E}\left[X_1^2X_2 + X_3^2 X_1 \mid X_1\right]\).

Exercice 9 (Examen passé)  

Soit \((X_1,X_2,X_3) \sim \mathcal{N}(\mu,M)\), où \[ \mu = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad M= \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 2 \\ 1/2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.\] Calculer \(\mathbb{E}[X_1+2X_2 \mid X_3].\) Quelle est la loi conditionnelle de \(X_1+2X_2\) sachant \(X_3\)?

Exercice 10 (CC2 2023)  

On suppose dans cet exercice que \((X,Y)\) est un couple de variables aléatoires tel que pour toute \(\phi : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_+\) borélienne, \[\mathbb{E}[\phi(X,Y)] = \sum_{n \ge 1} \frac{2}{3^{n}\sqrt{2\pi n}} \int_{\mathbb{R}} \phi(n,y) \exp\left(-\frac{y^2}{2n}\right) dy.\]

1. Montrer que \(X \sim \mathrm{Geom}(2/3)\).
2. Vérifier que pour une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) telle que \(f(Y) \in \mathbb{L}^1\), on a
   \[\mathbb{E}[f(Y) \mid X] = \sum_{n \ge 1} \left(\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi n}} f(y) \exp\left(-\frac{y^2}{2n} \right) dy \right) \mathbb{I}_{\{X=n\}}\] %1. En déduire que pour tout \(k \in \mathbb{N}\), %\[\mathbb{E}[Y^k \mid X] = \frac{k!}{X^{2k}}\]
3. Calculer \(\mathbb{E}[\exp(itY) \mid X]\), \(t \in \mathbb{R}\), quelle est la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\) ?
4. Déduire que si \(t\in \mathbb{R}\) \[\mathbb{E}[\exp(itY)] = \frac{2 \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)}{3-\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)}.\]

Exercice 11 (Partiel passé)  

Partie I

On considère le couple \((X,Z)\) de densité jointe \[ f(x,z) := (z-x)\exp(-z) \mathbf{1}_{\{z \ge x \ge 0\}}.\]

1. Calculer la loi de \(X\), puis celle de \(Z\).

2. En déduire que

   \[f_{X \mid Z}(x \mid z) = \frac{2(z-x)}{z^2} \mathbf{1}_{\{0 \le x \le z, z >0\}}.\]

3. Calculer \(\mathbb{E}[X \mid Z]\), puis \(\mathrm{Var}[X\mid Z]\).

4. Calculer \(f_{Z \mid X}(z \mid x)\), puis démontrer que \(\mathbb{E}[Z \mid X] = X + 2\).

5. Quelle est la loi du couple \((X, Z-X)\)? En déduire la loi de \(Z-X\).

Partie II

1. Soit \(z >0\). On suppose que \(U_1^z \sim \mathrm{Unif}[0,z]\), \(U_2^z \sim \mathrm{Unif}[0,z]\) et que \(U_1^z\) est indépendante de \(U_2^z\). Calculer la densité de \(\min(U_1^z, U_2^z)\).
2. On suppose à présent que conditionnellement à \(Z\), \(U_1^Z \sim \mathrm{Unif}[0,Z]\), \(U_2^Z \sim \mathrm{Unif}[0,Z]\) et que \(U_1^Z\) est (toujours conditionnellement à \(Z\)) indépendante de \(U_2^Z\). Montrer que, conditionnellement à \(Z\), \(\mathrm{min}(U_1^Z, U_2^Z)\) a la même loi que X.
3. Soient \(X_1,X_2,X_3\) trois variables indépendantes, toutes trois distribuées suivant la distribution exponentielle de paramètre \(1\). On note \(S= X_1+X_2+X_3\). Déterminer la loi de \((X_1,S)\). Que vaut \(\mathbb{E}[X_1\mid S]\)? \(\mathbb{E}[S \mid X_1]\)? Montrer finalement que conditionnellement à \(S\), le couple \((X_1,X_1+X_2)\) a la même loi que \(\left(\mathrm{min}(U_1^S, U_2^S), \mathrm{max}(U_1^S, U_2^S)\right)\).

Exercice 12 (Partiel passé)  

Pour \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) on définit

\[f(x,y) := \frac{4y}{x^3} \mathbf{1}_{\{0<x<1, 0<y <x^2\}}.\]

Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité, puis calculer les densités marginales \(f_X\), \(f_Y\).

Calculer \(f_{Y\mid X}(y \mid x)\) et en déduire que

\[\mathbb{E}[Y \mid X] = \frac{2}{3} X^2.\]

Montrer que

\[f_{X \mid Y}(x\mid y) = \frac{2y}{1-y} \frac{1}{x^3} \mathbf{1}_{\{0<x<1, 0<y <x^2\}},\]

puis calculer \(\mathbb{E}[X \mid Y]\).

Exercice 13 (CC2 2023)  

Dans cet exercice on suppose que

\[ \begin{pmatrix} X \\ Y\end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right), \]
et on pose \(U= X^2\).

1. Vérifier que \(U \sim \mathrm{Gamma}(1/2,1/4)\).

2. Montrer que \((X,Y)\) possède une densité jointe \(g\) que l’on déterminera.
   

3. Montrer que \((U,Y)\) possède la densité jointe \[ f(u,y) = \frac{1}{{ 4} \pi \sqrt{u}} \left( \exp\left(- \frac{u}{2} - y^2 + y \sqrt{u} \right) + \exp\left(-\frac{u}{2}- y^2 - y\sqrt{u} \right) \right) \mathbb{I}_{\{u >0\}}. \]

4. Calculer \(f_{Y \mid U}(y \mid u)\). En déduire \(\mathbb{E}[Y \mid U], \mathbb{E}[Y^2 \mid U]\) et \(\mathrm{Var}(Y \mid U)\). Vérifier qu’on a bien \[\mathrm{Var}[Y] = \mathbb{E}[\mathrm{Var}[Y \mid U]] + \mathrm{Var}[\mathbb{E}[Y \mid U]]\, .\]

5. On suppose que conditionnellement à \(U\), \(\xi\) et \(Z\) sont indépendantes avec \(\xi \sim \mathrm{Ber}(1/2)\) et \(Z \sim \mathcal{N}\left(\frac{\sqrt{U}}{2},\frac{1}{2}\right)\). Montrer que conditionnellement à \(U\), \((2\xi-1) Z\) a même loi que \(Y\). Vérifier alors les calculs de la question précédente.

AstuceIndications

1. rappelle que pour \(a>0, \lambda >0\), la densité d’une variable \(G \sim \mathrm{Gamma}(a,\lambda)\) est donnée par

   \[f_G(x) = \frac{\lambda^a x^{a-1}}{\Gamma(a)} \exp(-\lambda x) \mathbb{I}_{\{x >0 \}}\]

2. On fera attention à distinguer les domaines \(D_1 = \mathbb{R}_-^*\times \mathbb{R}\) et \(D_2 = \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}\) pour pouvoir considérer les \(\mathcal{C}^1\)-difféomorphismes \(\displaystyle{\Psi_1 : \begin{cases} \!\!&\!\! D_1 \to \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R} \\ \!\!&\!\! (x,y) \to (x^2,y) \end{cases}, \ \ \Psi_2 : \begin{cases} \!\!&\!\! D_2 \to \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R} \\ \!\!&\!\! (x,y) \to (x^2,y)\end{cases}}\).

3. Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), les deux premiers moments de la variable \(\zeta \sim \mathcal{N}\left(\alpha \frac{\sqrt{u}}{2}, \frac{1}{2}\right)\) sont

   \[\begin{align*} \mathbb{E}[\zeta] & = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{\pi}} y \exp\left(- \left(y - \alpha \frac{\sqrt{u}}{2}\right)^2 \right) dy \\ & = \alpha \frac{\sqrt{u}}{2}, \\ \mathbb{E}[\zeta^2] & = \mathbb{E}[\zeta]^2+ \mathrm{Var}[\zeta] = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{\pi}} y^2 \exp\left(- \left(y - \alpha \frac{\sqrt{u}}{2}\right)^2 \right) dy \\ & = \alpha^2 \frac{u}{4} + \frac{1}{2} \end{align*}\]

Exercice 14 (Rattrapage passé)  

Soit \(X=(X_1,X_2,X_3) \sim \mathcal{N}(0,M)\), où

\[M := \begin{pmatrix} 2& 2 &-2 \\ 2& 5 & 1 \\ -2 & 1 & 5 \end{pmatrix},\]

1. Montrer que \(\det(M)=0\). Le vecteur \(X\) possède-t-il une densité dans \(\mathbb{R}^3\)?
2. Trouver \(a \in \mathbb{R}\) tel que \(X_1\) et \(Y=X_2-a X_1\) soient indépendantes. Calculer \(\mathrm{Var}(Y)\) et en déduire la loi de \((X_1,Y)\).
3. Trouver la loi conditionnelle de \(X_2\) sachant \(X_1\).

Exercice 15 (Combinaison linéaire de gaussiennes)  

On considère \(X_0 =0\), et \((X_n)_{n \ge 1}\) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, identiquement distribuées suivant la loi normale centrée réduite.

On introduit les variables

\[Y_i = \frac{X_i-X_{i-1}}{i}, i \ge 1.\]

Pour \(n \ge 1\), montrer que le vecteur \((Y_1,...,Y_n)\) est gaussien, puis calculer le vecteur moyenne et la matrice de covariances de \((Y_1,...,Y_n)\).

Calculer, pour \(n \ge 1\), \(\mathbb{E}[Y_{n+1}\mid Y_n]\).

Exercice 16 (Loi jointe à densité)  

Soient \((X,Y)\) dont la loi jointe a pour densité \(f(x,y) = x(y-x) \exp(-y), 0 \le x \le y <\infty\). On introduit la notation \(f_{X|Y}(x|y) := f(x,y)/f_Y(y)\) lorsque le quotient est \(>0\), \(0\) sinon.

1. Exprimer \(f_{X|Y}(x|y)\), puis \(f_{Y|X}(y|x)\).
2. En déduire les expressions de \(\mathbb{E}[X|Y], \mathbb{E}[Y|X]\).

Exercice 17 (Exponentielles conditionnées)  

Soient \(Y,Z\) deux v.a.r. indépendantes \(\sim \mathrm{exp}(\lambda)\) où \(\lambda>0\). On pose \(X= Y+Z\). Quelle est la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\)? Que vaut \(\mathbb{E}[Y|X]\)? En déduire l’expression de \(\mathbb{E}[Y|X]\)

Exercice 18 (Gaussiennes corrélées)  

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, toutes deux normales centrées réduites. On définit pour \(\sigma_1 >0, \sigma_2>0, |\rho|\le 1\),

\[U = \sigma_1 X, \quad V= \sigma_2 \rho X + \sigma_2 \sqrt{1- \rho^2} Y.\]

1. Quelle est la loi de \((U,V)\)?
2. Que vaut \(\mathbb{E}[UV]\)?
3. Que vaut \(\mathbb{E}[U \mid V]? \mathbb{E}[V \mid U]? \mathrm{Var}[U \mid V]? \mathrm{Var}[V \mid U]?\)

Exercice 19 (Gaussiennes corrélées (2))  

Soit \(Z = (X, Y )\) un vecteur aléatoire gaussien à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\). On suppose que \(E(X) = E(Y ) = 0\), \(\mathrm{Var}(X) = \mathrm{Var}(Y ) = 1\) et que \(\mathrm{Cov}(X; Y ) = \rho\) avec \(|\rho|^2 \ne 1\). On pose \(U = X -\rho Y , V = \sqrt{1-\rho^2} Y\).

1. Quelles sont les lois de \(U\) et \(V\) ? Les v.a. \(U\) et \(V\) sont-elles indépendantes ?
2. Calculer \(\mathbb{E}(U^2V^2), \mathbb{E}(U V^3), \mathbb{E}(V^4)\). En déduire \(\mathbb{E}(X^2Y^2)\).
3. Retrouver ce dernier résultat par conditionnement.

Exercice 20 (Gaussiennes)  

Soient \(U, V, W\) trois v.a.r. gaussiennes centrées réduites. On pose \[Z =\frac{U + VW}{\sqrt{1+W^2}}.\]

1. Quelle est la loi conditionnelle de \(Z\) sachant \(W\)?
2. En déduire que \(Z\) et \(W\) sont indépendantes et donner la loi de \(Z\).

Exercice 21 (Maxima d’exponentielles)  

Soient \(X_1\) et \(X_2\) des v.a. indépendantes, de lois exponentielles de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).

1. Calculer \(\mathbb{E}[\max(X_1,X_2) \mid X_1]\).
2. Calculer \(\mathbb{E}[\max(X_1;X_2)]\).

Exercice 22 (Densités jointes)  

On pose \(h(x) = \frac{1}{\Gamma(a+1)} \exp(-x)x^{a-1}\) (\(a > 0\) fixé) et \(D = \{0 < y < x\}\). Soit \(f(x, y) = h(x)\mathbf{1}_D(x, y)\):

1. Montrer que \(f\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}^2\). On considère dans la suite un couple \((X, Y)\) de v.a.r. de densité \(f\).
2. Les v.a. \(X\) et \(Y/X\) sont-elles indépendantes?
3. Quelle est la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\) ?
4. Soit \(U\) une v.a.r. indépendante du couple \((X, Y)\) telle que \(\mathbb{P}(U = 1) = p\) et \(\mathbb{P}(U = 0) = 1 - p\). On pose \(Z = UX + (1 - U)Y\). Quelle est l’espérance conditionnelle de \(Z\) sachant \(X\)?

Exercice 23  

Soit \((X_n, n \in \mathbb{N})\) une suite de v.a.r.i.i.d. de densité \(f\) et fonction de répartition \(F\). Soient \(N := \min\{ n \ge 1 : X_n >X_0\}\) et
\(M := \min \{n \ge 1 : X_0 \ge X_1 \ge ... \ge X_{n-1} <X_n \}.\)

1. Trouver \(\mathbb{P}(N=n)\), puis montrer que la fonction de répartition de \(X_N\) est \(F +(1-F) \log(1-F)\) (on pourra conditionner par les événements \(\{N=n\}, n \in \mathbb{N}\)).
2. Exprimer \(\mathbb{P}(M=m), m \ge 1\).
3. On suppose dans cette question que \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\). Pour \(x \in (0,1)\) on introduit \(R^x := \min\{ n \ge 1 : X_1+...+X_n >x \}\). Montrer que \(\mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{R^x>n\}} \mid X_n] = \Phi(X_n)\) où \(\Phi(u) = \mathbb{I}_{\{u<x\}} \mathbb{P}(R^{x-u} > n-1)\). En déduire \(H_n(x):= \mathbb{P}(R^x>n)\).

Exercice 24  

Soient \(X\) et \(Y\) deux v.a.r. indépendantes de loi uniforme sur \([0, 1]\).

1. Quelle est l’espérance conditionnelle de \((Y - X)_+\) sachant \(X\)?
2. Quelle est la loi conditionnelle de \((Y - X)_+\) sachant \(X\)?

Exercice 25  

Soient \(X_1, X_2, X_3\) trois v. a. r. gaussiennes centrées réduites indépendantes. On pose \(U = 2X_1 - X_2 - X_3, V = X_1 + X_2 + X_3, W = 3X_1 + X_2 - 4X_3\).

1. Quelles sont les lois de \(U, V\) et \(W\)? Quels sont les couples de v.a. indépendantes parmi les couples \((U, V), (U,W), (V,W)\)?
2. Montrer qu’il existe \(a \in \mathbb{R}\) tel que \(W = aU + Z\) avec \(U\) et \(Z\) indépendantes. En déduire \(\mathbb{E}(W \mid U)\).

Exercice 26  

Soient \(X\) et \(Y\) deux v. a. r. gaussiennes centrées réduites indépendantes. On pose \(Z = X + Y\) , \(W = X - Y\).

1. Montrer que \(Z\) et \(W\) sont indépendantes. Quelle est la loi de \(W\)?
2. En déduire l’espérance conditionnelle et la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(Z\).
3. Calculer \(\mathbb{E}(XY \mid Z)\) et \(\mathbb{E}(XYZ \mid Z)\).