Algèbre Relationnelle

BD I: Algèbre Relationnelle

Cadre formel pour la manipulation de tables

Équipe BD

2024-09-13

Le modèle relationnel

$X_{1}$	$X_{2}$
1	2
1	4
5	2
5	4

Exemple de schéma : table `bebes` dans `babynames`

bd_2023-24> \dt
+-----------+-------+-------+-----------+
| Schema    | Name  | Type  | Owner     |
|-----------+-------+-------+-----------|
| babynames | bebes | table | boucheron |
+-----------+-------+-------+-----------+

bd_2023-24> \d bebes
+--------+------------------------+-----------+
| Column | Type                   | Modifiers |
|--------+------------------------+-----------|
| sexe   | integer                |           |
| prenom | character varying(500) |           |
| annee  | integer                |           |
| nombre | integer                |           |
+--------+------------------------+-----------+

$\begin{matrix} (9) & ((sexe, Z), (prenom, char), (annee, Z), (nombre, Z)) \end{matrix}$

Données INSEE. Une ligne de la table bébés nous informe qu’en France (héxagone?), pendant une annee, le nombre de naissances de sexe sexe, ayant reçu le prénom prenom est donnée par la colonne nombre.

bd_2023-24> SELECT * 
FROM bebes 
WHERE sexe=1 AND annee=2000 AND prenom='THÉO' ;

+------+--------+-------+--------+
| sexe | prenom | annee | nombre |
|------+--------+-------+--------|
| 1    | THÉO   | 2000  | 7961   |
+------+--------+-------+--------+

L’arité de bebes est $4$ , sa cardinalité est $648614$ .

Langage de manipulation de données

L’algèbre relationnelle est un système de calcul sur les tables

Elle est formée d’une collection d’opérateurs qui prennent en argument des tables et retournent des tables

Remarque:

Les opérateurs prennent en général des arguments supplémentaires qui ne sont pas des tables. La notion d’algèbre relationnelle est inspirée par les structures algébriques comme les groupes, les anneaux, les corps où des opérations internes opèrent sur une ensemble (par exemple $(R, +, \times)$ ), mais elle ne rentre pas exactement dans le cadre.

L’algèbre n’est pas aussi expressive qu’un langage de programmatoin classique (comme Python). C’est cela qui rend ce modèle de calcul intéressant : il permet de faire des choses pas triviales, mais il est plus facile à utiliser qu’un langage de programmation.

Produit Cartésien

Définition

Soient:
- $R_{1}$ de schéma $R_{1} (A_{1}, A_{2}, . . ., A_{k})$
- $R_{2}$ de schéma $R_{2} (B_{1}, B_{2}, . . ., B_{ℓ})$
- avec $A_{i} \neq B_{j}$ , pour tout $i = 1, . . ., k$ , $j = 1, . ., ℓ$
Dans le contexte “classique” : $R_{1} \times R_{2} = {(e_{1}, e_{2}) : e_{1} \in R_{1}, e_{2} \in R_{2}}$
$R = R_{1} \times R_{2}$ de schéma $R (A_{1}, A_{2}, . . ., A_{k}, B_{1}, B_{2}, . . ., B_{ℓ})$ . Le schéma de $R$ est l’union des schémas de $R_{1}$ et $R_{2}$

Attention

En algèbre relationnelle, cette opération est commutative ( $R_{1} \times R_{2} = R_{2} \times R_{1}$ ) et associative

Produit cartésien :

Définition formelle

$R = R_{1} \times R_{2}$ est la relation de schéma $R (A_{1}, A_{2}, . . ., A_{k}, B_{1}, B_{2}, . . ., B_{ℓ})$ vérifiant~:

Pour tout $t \in R$ , il existe $t_{1} \in R_{1}$ , $t_{2} \in R_{2}$ ( $\forall t \in R, \exists t_{1} \in R_{1}, \exists t_{2} \in R_{2}, \dots$ ) tels que :

$\begin{matrix} (10) & t . A_{1} = t_{1} . A_{1}, \dots, t . A_{k} = t_{1} . A_{k}, t . B_{1} = t_{2} . B_{1}, \dots, t . B_{ℓ} = t_{2} . B_{ℓ} \end{matrix}$

Réciproquement, pour tout $t_{1} \in R_{1}$ , $t_{2} \in R_{2}$ , il existe $t \in R$ tels que :

$\begin{matrix} (11) & t . A_{1} = t_{1} . A_{1}, \dots, t . A_{k} = t_{1} . A_{k}, et t . B_{1} = t_{2} . B_{1}, \dots, t . B_{ℓ} = t_{2} . B_{ℓ} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (12) & \forall t_{1} \in R_{1}, \forall t_{2} \in R_{2}, \exists t \in R, t . A_{1} = t_{1} . A_{1}, \dots, t . A_{k} = t_{1} . A_{k}, et t . B_{1} = t_{2} . B_{1}, \dots, t . B_{ℓ} = t_{2} . B_{ℓ} \end{matrix}$

Projection ( $π$ )

Définition

La projection d’une relation $R$ de schéma $R (A_{1}, \dots, A_{k})$ sur les attributs $A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{p}}$ , $i_{1}, . . ., i_{p} \in {1, . . ., k}$ , est la relation $S$
- de schéma $S (A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{p}})$
- dont les tuples sont obtenus par élimination des attributs non mentionnés dans $A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{p}}$ (et par élimination des doublons).
- On note $S = π_{A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{p}}} (R)$ .
Définition formelle :

$\begin{matrix} (13) & s \in S ⟺ \exists t \in R, \forall n \in {1, \dots, p} s . A_{i_{n}} = t . A_{i_{n}} \end{matrix}$

Remarque

Implicitement, on a élimination des doublons car une projection peut produire plusieurs fois le même tuple.

Remarque

À la différence des opérations ensemblistes ∩, ∪, ∖, ×, la projection ne fait pas intervenir que des tables.

On peut considérer la projection comme une fonction à deux arguments, avec un premier argument de type table, et un second argument constitué par une liste d’attributs.

On peut aussi considérer la projection comme une fonction avec un nombre variable d’arguments. Un premier argument de type table, puis de arguments qui désignent des attributs de la table. Si on accepte ce point de vue, on peut adopter la notation

On note $\begin{matrix} (14) & S = π (R, A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{p}}) \end{matrix}$ au lieu de $S = π_{A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{p}}} (R)$

Dans la suite, nous utiliserons cette possibilité.

Sélection ( $σ$ )

Définition

La sélection d’une relation $R$ par une condition $C$ est une relation $S$
- de même schéma que $R$
- dont les tuples sont ceux de $R$ qui satisfont la condition $C$ .
On note $S = σ_{C} (R)$ .
La condition $C$
- s’exprime à l’aide des noms d’attributs de la relation ou de constantes (pour les opérandes)
- on peut utiliser des opérateurs arithmétiques de comparaison ( $=, \neq, \leq, \geq, <, >$ ) ainsi que des connecteurs logiques ( $\neg, \land, \lor$ )..

Remarque

À la différence des opérations ensemblistes ∩, ∪, ∖, ×, comme la projection, la sélection ne fait pas intervenir que des tables.

On peut considérer la sélection comme une fonction à deux arguments, avec un premier argument de type table, et un second argument constitué par une condition (une expression dont l’évaluation sur chaque ligne de la table retourne Vrai, Faux, ou Indéterminé).

On peut aussi considérer la sélection comme une fonction avec un nombre variable d’arguments. Un premier argument de type table, puis de arguments qui représentent des expressions susceptibles d’être évaluées sur chaque ligne de la table. Une ligne fera partie de la table résultat, si elle satisfait toutes les expressions.

On note $\begin{matrix} (15) & S = σ (R, C_{1}, \dots, C_{p}) \end{matrix}$ au lieu de $S = σ_{C_{1} \land C_{2} \land \dots \land C_{p}} (R)$

Dans la suite, nous utiliserons cette possibilité.

Notons que dans un langage comme Python, nous ne disposons pas d’emblée d’un type expression et que la notation proposée ici ne se code pas trivialement en Python.

En langage R, on dispose d’un type expression, la notation proposée ici est mise en œuvre dans le package dplyr.

Remarque

Comme la projection et la sélection, le renommage ne fait pas intervenir que des tables.

On peut considérer le renommage comme une fonction avec un nombre variable d’arguments. Un premier argument de type table, puis de arguments qui représentent des expressions indiquant comment doivent être renommées certains attributs.

On note $\begin{matrix} (16) & S = ρ (R, A_{i_{1}} \mapsto B_{1}, \dots, A_{i_{p}} \mapsto B_{p}) \end{matrix}$ au lieu de $S = ρ_{A_{i_{1}} \mapsto B_{1}, \dots, A_{i_{p}} \mapsto B_{p}} (R)$

Dans la suite, nous utiliserons cette possibilité.

Notons que dans un langage comme Python, nous ne disposons pas d’emblée d’un type expression et que la notation proposée ici ne se code pas trivialement en Python.

En langage R, on dispose d’un type expression, la notation proposée ici est mise en œuvre dans le package dplyr.

Jointure

Définition

La jointure $T = R_{1} ⋈_{C} R_{2}$ de deux relations $R_{1}$ et $R_{2}$ de schémas disjoints sous la condition $C$ est la relation $T$ :

de schéma la concaténation des schémas de $R_{1}$ et $R_{2}$
formée des tuples du produit cartésien $R_{1} \times R_{2}$ qui satisfont la condition $C$

Règles de formation de la condition de jointure : comme pour la sélection

Définition formelle

$\begin{matrix} (17) & R_{1} ⋈_{C} R_{2} = σ_{C} (R_{1} \times R_{2}) \end{matrix}$

Remarque

Comme la projection, la sélection et le renommage, la jointure ne fait pas intervenir que des tables.

On peut considérer la jointure comme une fonction avec un nombre variable d’arguments. Deux premiers arguments de type table, puis une expression dont l’évaluation permet de déterminer quels couples de lignes doivent figurer dans la table résultat

On note $\begin{matrix} (18) & T =⋈ (R, S, C) \end{matrix}$ au lieu de $T = R ⋈_{C} C$

Dans la suite, nous utiliserons cette possibilité.

Notons que dans un langage comme Python, nous ne disposons pas d’emblée d’un type expression et que la notation proposée ici ne se code pas trivialement en Python.

En langage R, on dispose d’un type expression, la notation proposée ici est mise en œuvre dans le package dplyr avec la fonction inner_join(),

Jointure naturelle

Définition

C’est une équi-jointure concernant les attributs communs (même nom et même type) de deux relations

On ne garde dans le résultat qu’une copie des attributs communs

On considère

$R_{1}$ d’attributs $A_{1}, . ., A_{k}, B_{1}, . . ., B_{h}$
$R_{2}$ d’attributs $A_{1}, . ., A_{k}, B_{h + 1}, . . ., B_{ℓ}$
$A_{1}, . . ., A_{k}$ : attributs communs et ${B_{1}, . . ., B_{h}} \cap {B_{h + 1}, . . ., B_{ℓ}} = \emptyset$
Soit $A_{1}^{'}, . . . ., A_{k}^{'}$ tels que ${A_{1}, . . ., A_{k}} \cap {A_{1}^{'}, . . . ., A_{k}^{'}} = \emptyset$

Jointure naturelle (formalisation)

Considérons $S$ d’attributs $A_{1}^{'}, . ., A_{k}^{'}, B_{h + 1}, . . ., B_{l}$ définie par :

$\begin{matrix} (19) & S = ρ_{A_{1} \mapsto A_{1}^{'}} (ρ_{A_{2} \mapsto A_{2}^{'}} (\dots (ρ_{A_{k} \mapsto A_{k}^{'}} (R_{2}) \dots)) \end{matrix}$

La jointure naturelle sur deux relations $R_{1}$ et $R_{2}$ est la relation

d’attributs $A_{1}, . ., A_{k}, B_{1}, . . ., B_{h}, B_{h + 1}, . . ., B_{ℓ}$
définie par : $\begin{matrix} (20) & π_{A_{1}, . ., A_{k}, B_{1}, . . ., B_{h}, B_{h + 1}, . . ., B_{ℓ}} (R_{1} ⋈_{C} S) \end{matrix}$ où $C$ est $(A_{1} = A_{1}^{'}) \land (A_{2} = A_{2}^{'}) \land \dots \land (A_{k} = A_{k}^{'})$

Jointure externe

Perte d’information dans jointure naturelle

Les tuples ne satisfaisant pas la condition (non appariés) disparaissent

Définition

On ajoute symboliquement” une ligne dont les valeurs sont vides (ou avec valeur spéciale NULL) pour garder les tuples initiaux “non satisfaisants” après la jointure

On note cette opération entre deux relations $R$ et $S$ :

$\begin{matrix} (22) & R ⋈^{+} S \end{matrix}$

Division

Définition

La division ou quotient

d’une relation $R$ de schéma $R (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k})$
par une relation $S$ de schéma $S (A_{p + 1}, \dots, A_{k})$

est la relation $T$ de schéma $T (A_{1}, \dots, A_{p})$ formée des tuples qui complétés par chaque tuple de $S$ donnent un tuple de $R$ .

Autrement dit

$\begin{matrix} (23) & \begin{array}{l} t \in T (A_{1}, \dots, A_{p}) ⟺ \\ \forall s \in S (A_{p + 1}, \dots, A_{k}) \exists r \in R {\begin{cases} t . A_{1} = r . A_{1}, \dots, t . A_{p} = r . A_{p} \\ s . A_{p + 1} = r . A_{p + 1}, \dots, s . A_{k} = r . A_{k} \end{cases} \end{array} \end{matrix}$

On note $\begin{matrix} (24) & T = R \div S \end{matrix}$

Interdéfinissabilité des opérateurs

L’union, la différence, le produit cartésien, la sélection et la projection et le renommage sont suffisants pour définir tous les opérateurs que l’on a vu.
Mais avoir un panier plus large d’opérateurs simplifie l’écriture des requêtes.

Quelques définitions

Pour la Jointure : $R ⋈_{C} S \equiv σ_{C} (R \times S)$
Pour l’intersection : $A \cap B = A \cup B - ((B - A) \cup (A - B))$

BD I: Algèbre Relationnelle Cadre formel pour la manipulation de tables Équipe BD LPSM Université Paris-Cité 2024-09-13

BD I: Algèbre Relationnelle
Plan
Le modèle relationnel
Formulé par E. Codd...
Un peu de formalisation
Remarque
Produit cartésien
Relations (classique)...
Exemple
Relations (classiques)
Définition : Cardinalité...
Schémas et relations
Relations et schémas
En BD relationnelle,...
Note L’idée de...
Schéma d’une relation
Exemple de schéma : table bebes dans babynames
Relations et schémas : formalisation alternative
Formalisation alternative
Conventions (suite)
Relations et schémas : formalisation
Résumé informel
LMD : Opérateurs
Langage de manipulation de données
Opérateurs de base
Union $\cup$ et intersection $\cap$
Union : exemple
Intersection : exemple
Différence
Différence : exemple
Produit Cartésien
Produit cartésien :
Produit cartésien : exemple
Projection ( $π$ )
Remarque À la différence...
Projection : Exemple
Sélection ( $σ$ )
Remarque À la différence...
Sélection : Exemple
Renommage
Remarque Comme...
Renommage : Exemple
Résumé
Algèbre relationnelle
Exemple
De la composition aux tuyaux (pipelines)
De la composition aux tuyaux (suite)
Opérations complémentaires : les jointures
Les jointures
Jointure
Remarque Comme...
Exemple sur le schéma world
Exemple sur le schéma world (suite)
Différentes variétés de jointures
Équi-jointure,
θ-jointure
Jointure naturelle
Jointure naturelle (formalisation)
Exemple de Jointure naturelle
On aurait pu décrire...
Exemples de requêtes
Encore des opérations…
Jointure externe
Jointure externe (exemple)
Division
Division (exemple)
Interdéfinissabilité des opérateurs
Définition de la division
Petite histoire
L’algèbre relationnelle...
Depuis Wikipedia
Fin