Normalisation I

Dépendances Fonctionnelles. Décomposition FNBC

Équipe BD

LPSM Université Paris-Cité

2024-11-22

Plan

• Introduction
• Dépendances fonctionnelles
• Clef et super-clef
• Fermeture d’un ensemble d’attributs
• Algorithme pour calculer une fermeture
• Forme normale de Boyce-Codd
• Décomposition d’une relation
• Décomposition sans perte d’information
• Algorithme de poursuite
• Décomposition FNBC SPI
• Fin

Introduction

Conception du modèle relationnel

Une première approche pour concevoir un modèle relationnel (l’ensemble des schémas de tables d’une bd) consiste à :

• Identifier les attributs d’intérêt

• Répartir les attributs dans plusieurs relations

• Comment savoir si le modèle relationnel est bon ?

• Si ce n’est pas le cas : y a-t-il des techniques pour le transformer en un bon modèle?

Qualité d’un schéma

Quelles sont de bonnes propriétés d’un schéma ?

Exemple

Attributs relatifs à des vendeurs, produits et livraisons

Attribut	Usage
V#	numéro du vendeur
Vnom	nom du vendeur
Vville	ville du vendeur
P#	numéro du produit
Pnom	nom du produit
Pville	ville où le produit est stocké
Qte	quantité de produit livrée au vendeur

Qualité d’un schéma

Un schéma relationnel possible : une seule relation R avec tous les attributs

R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte)

• C’est une mauvaise modélisation.

• Pourquoi ?

Qualité d’un schéma relationnel

Redondance

V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
3	MagicV	Paris	…	…	…	…
3	MagicV	Paris	…	…	…	…
2	IdealB	Lyon	…	…	…	…
2	IdealB	Lyon	…	…	…	…

Vnom et Vville sont déterminés parV# :

si deux livraisons ont le même V#, elles ont aussi le même Vville et le même Vnom

• Anomalies de mise à jour

Vnom ou Vville pourrait être mis à jour dans une livraison et pas dans une autre, ce qui donnerait une incohérence. Les mesures pour éviter cela rendent la mise à jour est coûteuse

• Anomalies d’insertion

On ne peut pas enregistrer un vendeur s’il ne reçoit pas de livraison

• Anomalies de suppression

Si on supprime toutes les livraisons à un vendeur, on perd toute l’information sur ce vendeur

Qualité d’un schéma relationnel

• Un bon schéma

Vendeur(V#, Vnom, Vville)    Clef : V#
Produit(P#, Pnom, Pville)    Clef : P#
Livraison(V#, P#, Qte)       Clef : (V#,P#)

• Plus d’anomalie ! Comment y arriver?

La théorie de la normalisation des BD relationnelles fournit

• la notion de forme normale : propriétés d’un schéma qui garantissent l’absence de redondance et des anomalies qui en dérivent. Ces propriétés sont définies par rapport à un ensemble de contraintes

• des techniques de normalisation : passage d’un schéma arbitraire (mauvais) à un schéma en forme normale (obtenu typiquement par décomposition)

Dépendances fonctionnelles

Une dépendance fonctionnelle est une forme particulière de contrainte d’intégrité portant sur une relation/table : il s’agit d’une forme particulière contrainte d’exclusion EXCLUDE

C’est la réalité modélisée qui impose ces contraintes

Exemple :

R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte)

Un ensemble de dépendances fonctionnelles qu’on peut raisonnablement supposer :

V# ⟶ Vnom Vville
P# ⟶ Pnom Pville
V# P# ⟶ Qte

• Cela signifie que l’on ne considère que des relations R qui satisfont :
• si 2 tuples de R ont la même valeur de V# alors ils ont la même valeur de Vnom et Vville
• si 2 tuples de R ont la même valeur de P# alors ils ont la même valeur de Pnom et Pville
• …

DF exemple (suite)

V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
3	MagicV	Paris	322	manteau	Lille	2
1	StarV	Rome	546	veste	Rome	1
3	MagicV	Paris	322	manteau	Lille	5
2	IdealB	Lyon	145	jupe	Paris	7
2	IdealB	Lyon	234	jupe	Lille	1

• R satisfait V# ⟶ Vnom Vville et P# ⟶ Pnom Pville

• R viole V# P# ⟶ Qte

Autre Exemple

Schéma Films(titre, année, durée, genre, producteur, acteur)

titre	année	durée	genre	producteur	acteur
Star Wars	1977	124	SciFi	Fox	Carrie Fisher
Star Wars	1977	124	SciFi	Fox	Mark Hamill
Star Wars	1977	124	SciFi	Fox	Harrison Ford
Gone With The Wind	1939	231	drame	MGM	Vivien Leigh
Wayne’s World	1992	95	comédie	Paramount	Dana Carvey
Wayne’s World	1992	95	comédie	Paramount	Mike Meyers
…

• On sait qu’il n’y a pas 2 films de même nom qui sortent la même année. On a donc la dépendance suivante

titre, année ⟶ durée, genre, producteur

• La DF titre, année ⟶ acteur

est certainement fausse puisqu’un film fait intervenir en général plusieurs acteurs

• A-t-on la DF titre, acteur ⟶ année, durée, genre, producteur ?

Définition d’une dépendance fonctionnelle

Définition : Dépendance fonctionnelle

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma de relation (\(\mathcal{A}\) est un ensemble d’attributs)

Une dépendance fonctionnelle sur \(\mathcal{A}\) est une expression de la forme

\[X → Y\]

où \(X ⊆ \mathcal{A}\) et \(Y ⊆ \mathcal{A}\)

Une relation \(R\) de schéma \(\mathcal{A}\) satisfait \(X → Y\) si pour tous tuples \(s,t ∈ R\) on a

\[\bigl(∀ A∈ X\ s.A=t.A\bigr) ⟹ \bigl(\forall A∈ Y\ s.A=t.A\bigr)\]

(si \(s\) et \(t\) coïncident sur \(X\) alors \(s\) et \(t\) coïncident sur \(Y\))

Une relation \(R\), de schéma \(\mathcal{A}\), satisfait un ensemble \(\Sigma\) de DF si \(R\) satisfait chaque DF de \(\Sigma\)

Exemples

Dans la base Pagila, relation Actor :

• Actor_id ⟶ last_name, first_name

• car Actor_id est une clé…

Définition : dépendance élémentaire

\(A_1,...,A_p \rightarrow Y\) est une dépendance élémentaire si pour tout \(j\leq p\) : \(A_1,...,A_{j-1}, A_{j+1},..., A_p\not\rightarrow Y\)

• No_insee ⟶ sexe, mois_naiss, jour_naiss est élémentaire.

• No_insee, jour_naiss ⟶ sexe, mois_naiss, ville_naiss n’est pas élémentaire …

No_insee suffit

Dépendance fonctionnelle triviale

Une DF triviale est une DF satisfaite par toute relation

Définition (dépendance triviale)

Soient \(X,Y⊂ \mathcal{A}\)

\(X\rightarrow Y\) est une dépendance triviale si \(Y ⊂ X\)

Exemple

No_insee ⟶ No_insee est triviale

Implication pour les DF

• Soit \(\mathcal{A}\) un schéma de relation ( \(\mathcal{A}\) est un ensemble d’attributs) et \(\Sigma\) un ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\)

• Exemple : \(\mathcal{A}=\{A,B,C\}\) et \(\Sigma=\{A\rightarrow B, B\rightarrow C\}\)

• Les DF données impliquent d’autres DF additionnelles

Exemple I

\(A\rightarrow B\) et \(B\rightarrow C\) impliquent \(A\rightarrow C\)

c’est-à-dire : toute relation de schéma \(\mathcal{A}\) qui satisfait \(A\rightarrow B\) et \(B\rightarrow C\) satisfait également \(A\rightarrow C\)

Exemple II

\(A\rightarrow C\), \(BC\rightarrow D\), \(AD\rightarrow E\) impliquent \(AB\rightarrow E\)

Implication entre DF

Définition

Un ensemble \(\Sigma\) de DF implique une autre DF \(X\rightarrow Y\) si toute relation (instance) qui satisfait \(\Sigma\) satisfait également \(X\rightarrow Y\).

Notation pour \(\Sigma\) implique \(X\rightarrow Y\) :

\[\Sigma \models X \rightarrow Y\]

Exemple

\(\Sigma=\{A\rightarrow B, B\rightarrow C\}\) implique

\(A\rightarrow B\), \(B\rightarrow C\), \(A\rightarrow C\), \(A,B\rightarrow C\), …

mais aussi les DF triviales \(A\rightarrow A\), \(AB\rightarrow A\), …

Trois règles d’inférence (faciles à vérifier) :

Règles d’Armstrong

• Transitivité : \(\{ X\rightarrow Y, Y\rightarrow Z\} \models X\rightarrow Z\)

• Augmentation : \(X\rightarrow Y \models \{X,Z\} \rightarrow \{Y,Z\}\)

• Réflexivité : \(\varnothing \models \{X,Y\}\rightarrow X\) (DF triviale)

Vérification de la transitivité

On se rammène à vérifier une règle du calcul propositionnel :
si p ⇒ q et q ⇒ r alors p ⇒ r

Soit une instance \(\mathcal{R}\) telle que :
\[\forall s,t \in \mathcal{R} \qquad \begin{cases} \text{si } s.X =t.X & \text{alors } s.Y= t.Y \\ \text{si } s.Y =t.Y & \text{alors } s.Z= t.Z \end{cases} \] On a alors aussi \(\forall s,t \in \mathcal{R}\), si \(s.X =t.X\) alors \(s.Z= t.Z\)

Tables de vérité

p	q	r	p ⇒ q	q ⇒ r	p ⇒ r
TRUE	TRUE	TRUE	TRUE	TRUE	TRUE
FALSE	TRUE	TRUE	TRUE	TRUE	TRUE
TRUE	FALSE	TRUE	FALSE	TRUE	TRUE
FALSE	FALSE	TRUE	TRUE	TRUE	TRUE
TRUE	TRUE	FALSE	TRUE	FALSE	FALSE
FALSE	TRUE	FALSE	TRUE	FALSE	TRUE
TRUE	FALSE	FALSE	FALSE	TRUE	FALSE
FALSE	FALSE	FALSE	TRUE	TRUE	TRUE

Théorème

\(\Sigma \models X\rightarrow Y\)

si et seulement si

\(X\rightarrow Y\) peut-être dérivée de \(\Sigma\) par applications successives des trois règles d’Armstrong

Preuve

De ces 3 règles, on déduit d’autres règles :

• Union : \(\{X\rightarrow Y, X\rightarrow Z\} \models X\rightarrow \{Y,Z\}\)

• Séparation : \(X\rightarrow \{Y,Z\} \models X\rightarrow Y\)

• …

Clef et super-clef

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma et \(\Sigma\) une ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\)

Définition

Un ensemble d’attributs \(X\) est une super-clef si

\(\Sigma \models X \rightarrow \mathcal{A}\)

c-à-d si \(X\) détermine tous les attributs de \(\mathcal{A}\)

Définition

Un ensemble d’attributs \(X\) est une clef si \(X\) est une super-clef et si tout sous-ensemble \(Y\subset X\) tel que \(Y\not=X\) n’est pas une super-clef

Exemple

\(R(A,B,C) \qquad \Sigma = \{A\rightarrow B, B\rightarrow C\}\)

Super-clefs : \(A\), \(AB\), \(AC\), \(ABC\)

Clef : \(A\) (la seule)

Exemples

\(\mathcal{A}=\{A,B,C,D\}\),

\(\Sigma= \{AB\rightarrow C, C\rightarrow A, BC\rightarrow D\}\)|

\(\Sigma'=\{AB\rightarrow D\}\)

\(\Sigma\models\Sigma'\)

Définition

\(\Sigma\) est équivalent à \(\Sigma'\)

ssi

\(\Sigma\models\Sigma'\) et \(\Sigma'\models\Sigma\)

Exemples

• \(X\rightarrow A_1,...,A_n\) est équivalent à \(X\rightarrow A_1\), …, \(X\rightarrow A_n\)

• \(XY\rightarrow YZ\) est équivalent à \(XY\rightarrow Z\)

Fermeture d’un ensemble d’attributs

Question principale

• Comment vérifier si un ensemble \(\Sigma\) de DF implique une DF \(X\rightarrow Y\)~?

• Par les équivalences présentées précédemment, la question se ramène à :

Comment vérifier si un ensemble \(\Sigma\) de DF implique une DF \(X\rightarrow A\) où \(A\) est un attribut~?

Fermeture d’un ensemble d’attributs

Soit \(X \subset\mathcal{A}\) un sous-ensemble d’attributs et \(\Sigma\) un ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\)

Définition

La fermeture de \(X\) par rapport à \(\Sigma\) est

\[X^+=\{ A\in\mathcal{A} \mid \Sigma\models X\rightarrow A \}\]

Autrement dit \(X^+\) est l’ensemble des attributs déterminés par \(X\)

Exemple de fermeture

• \(R(ABCDE)\)
• \(\Sigma=\{AB\rightarrow C, C\rightarrow D, E\rightarrow D\}\)
• \(\{A,B\}^+=\{A,B,C,D\}\)

Algorithme pour calculer une fermeture

Soit \(\Sigma\) un ensemble de DF sur un schéma \(\mathcal{A}\) et \(X\subset\mathcal{A}\)

\begin{algorithm} \caption{Fermeture} \begin{algorithmic} \Procedure{Fermeture}{$X, Σ$} \State $X^c ← X$ \Repeat \State stop ← \True \Comment{Arrêt si Point Fixe atteint} \For{$(Y → Z) ∈ Σ$} \If{$Y ⊆ X^c ∧ ¬ Z ⊆ X^c$} \State $X^c ← X^c ∪ Z$ \State stop ← \False \Comment{Point Fixe pas atteint} \Break \EndIf \EndFor \Until{stop} \Return $X^c$ \EndProcedure \end{algorithmic} \end{algorithm}

Xc <-  X

while (exists Y -> Z in Σ with Y ⊂ Xc and not Z ⊂ Xc) {
  Xc <- Xc ∪ Z
}

return Xc

Exemple de calcul de fermeture

\(\mathcal{A}=\{ABCDEF\}\) \(\Sigma=\{A\rightarrow C, BC\rightarrow D, AD\rightarrow E\}\) \(X=\{A,B\}\)

• \(X_c=\{A,B\}\)

• \(A\rightarrow C\) donc on obtient \(X^cc=\{A,B,C\}\)

• \(BC\rightarrow D\) donc on obtient \(X^c=\{A,B,C,D\}\)

• \(AD\rightarrow E\) donc on obtient \(X^c=\{A,B,C,D, E\}\)

• On obtient \(X^+=\{A,B,C,D, E\}\)

Terminaison de l’algorithme

\(X^c\) grandit à chaque itération

Comme \(\mathcal{A}\) est fini, l’algorithme se termine en au plus \(|\mathcal{A}|\) itérations

Correction de l’algorithme de fermeture

• L’algorithme calcule uniquement des attributs dans la fermeture car on a toujours \(X^c \subset X^+\) (récurrence sur le nombre d’itérations de la boucle repeat)

• L’algorithme calcule tous les attributs dans la fermeture: \(X_c=X^+\) quand l’algorithme se termine

Le dernier point est le plus délicat. Que peut signifier le fait qu’il existe au moins un attribut \(Y\in X^+\) qui n’appartienn pas à valeur terminale de \(X^c\) ?

Calcul de la fermeture transitive : exemple

Soit \(R\) d’ensemble d’attributs

\[\mathcal{A} =\{A,B,C,D,E,F,G\}\]

Soit \(X=\{B,D\} \subset \mathcal{A}\)

Et \(Σ\) l’ensemble de dépendances fonctionnelles ci-contre

\(\Sigma\)
\(A,B \rightarrow C\)
\(C \rightarrow A\)
\(B,C \rightarrow D\)
\(A,C,D \rightarrow B\)
\(F\rightarrow A,C\)
\(D \rightarrow E,G\)
\(B,E \rightarrow C\)
\(C,G \rightarrow B,D\)
\(C,E \rightarrow A,G\)

Montrer que \(X^+=\{A,B,C,D,E,G\}\)

Donner une clef de \(R\)

Forme normale de Boyce-Codd

Forme normale de Boyce-Codd (FNBC)

Définition

Un schéma \(\mathcal{A}\) est en FNBC par rapport à un ensemble de dépendances fonctionnelles \(\Sigma\) sur \(\mathcal{A}\)

si

pour toute DF non triviale \(X\rightarrow Y\) impliquée par \(\Sigma\) (Σ ⊧ X → Y avec \(¬ Y ⊂ X\)), \(X\) est une super-clef

• \((\mathcal{A},\Sigma)\) est en FNBC si pour toute DF non triviale impliquée par \(\Sigma\), le membre de gauche (le déterminant) est une super-clef

Proposition

Soit \(\Sigma'\) un ensemble de DF équivalent à \(\Sigma\).

\((\mathcal{A},\Sigma)\) est en FNBC si et seulement si pour toute DF non triviale de \(\Sigma'\), le membre de gauche est une super-clef

En effet toute DF impliquée par \(\Sigma\) peut être obtenue à partir des DF de \(\Sigma'\) en utilisant les règles d’Armstrong

FNBC : exemple 1

• Schéma \(\mathcal{A}=\{\texttt{V\#, Vnom, Vville, P\#, Pnom, Pville, Qte}\}\)

Ensemble de dépendances fonctionnelles \(\Sigma\) :

V# ⟶ Vnom Vville
P# ⟶ Pnom Pville
V# P# ⟶ Qte

\(\mathcal{A}\) n’est pas en FNBC par rapport \(\Sigma\).

En effet ni V# ni P# ne sont des super-clefs

FNBC : exemple 2

Schéma Films(titre, année, durée, genre, producteur, acteur)

• On a la dépendance suivante titre, année ⟶ durée, genre, producteur

• titre, année, acteur est la seule clef

• La DF titre, année ⟶ durée, genre, producteur} viole la condition de FNBC

FNBC : exemple 3

Trois schémas en FNBC :

Relation	Clef
Vendeur(V#, Vnom, Vville)	V#
Produit(P#, Pnom, Pville)	P#
Livraison(V#, P#, Qte)	(V#,P#)

Schéma avec deux attributs

Proposition

Soit \(\mathcal{A}=\{A,B\}\) un schéma avec deux attributs et \(\Sigma\) un ensemble de DF non triviales.

\(\mathcal{A}\) est toujours en FNBC par rapport à \(\Sigma\)

Preuve. On distingue 4 cas

• \(\Sigma=\emptyset\)
• \(\Sigma=\{A\rightarrow B\}\)
• \(\Sigma=\{B\rightarrow A\}\)
• \(\Sigma=\{A\rightarrow B, B\rightarrow A\}\)

Décomposition d’une relation

Décomposition d’un schéma de relation

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma de relation

Un décomposition de \(\mathcal{A}\) est un ensemble \(\{\mathcal{A}_1,..., \mathcal{A}_k\}\) de sous-ensembles de \(\mathcal{A}\) tel que

\[\mathcal{A}_i\not=\emptyset, 1\le i\le k, \quad \text{ et } \quad \mathcal{A} = \bigcup_{i=1}^k \mathcal{A}_i\]

Une décomposition n’est pas nécessairement une partition. On n’impose pas que les \(\mathcal{A}_i\) soient deux à deux disjoints.

Exemple de décomposition I

Vendeur(V#, Vnom, Vville)
Produit(P#, Pnom, Pville)
Livraison(V#, P#, Qte)

est une décomposition du schéma

R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte)

Exemple de décomposition II

Schéma :

Films(titre, année, durée, genre, producteur, acteur)

Une décomposition :

Films1(titre, année, durée, genre, producteur)

Films2(titre, année, acteur)

• Films1 est FNBC par rapport à \(\Sigma_1=\{\texttt{titre, année ⟶ durée, genre, producteur}\}\)
• Films2 est en FNBC par rapport à \(\Sigma_2=\emptyset\)

Propriétés d’une décomposition

On ne peut pas décomposer arbitrairement

Toutes les décompositions ne sont pas intéressantes

Conditions pour une décomposition raisonnable :

• Décomposition sans perte d’information

• Décomposition sans perte de dépendance fonctionnelle

Décomposition sans perte d’information

Décomposition sans perte d’information

Idée : Si on remplace le schéma

(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte)

par les trois schémas

Vendeur(V#, Vnom, Vville)
Produit(P#, Pnom, Pville)
Livraison(V#, P#, Qte)

alors au lieu de stocker une relation R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte), on stockera ses projections:

\[\pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(\texttt{R}) \qquad \pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pville}}(\texttt{R}) \qquad \pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(\texttt{R})\]

Peut-on retrouver R à partir de ces trois projections ?

Décomposition sans perte d’information

• La décomposition doit garantir que pour toute relation R, ses projections contiennent la même information que R au sens que l’on doit pouvoir reconstruire R à partir de ses projections

• Comment tenter de reconstruire R à partir de ses projections ?

On considère la jointure naturelle

\[\pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(\texttt{R}) \bowtie \pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pville}}(\texttt{R}) \bowtie \pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(\texttt{R})\]

Décomposition sans perte d’information

La propriété souhaitée s’écrit donc

\[R = \pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(\texttt{R}) \bowtie \pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pville}}(\texttt{R}) \bowtie \pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(\texttt{R})\]

pour toute relation R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte) satisfaisant les DF

• Est ce vrai?

• Intuitivement, oui : à partir d’un tuple de Livraison(V#,P#,Qte)

• V# permet de récupérer toutes les informations sur le vendeur (V# ⟶ Vnom Vville)

• P# permet de récupérer toutes les informations sur le produit (P# ⟶ Pnom Pville)

• La propriété d’être sans perte d’information est liée à l’ensemble de DF considéré

Décomposition sans perte d’information (lossless join)

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma de relation et \(\Sigma\) un ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\).

Une décomposition \(\{\mathcal{A}_1,..., \mathcal{A}_k\}\) est sans perte d’information par rapport à \(\Sigma\) si pour toute relation \(R\) de schéma \(\mathcal{A}\) satisfaisant \(\Sigma\) on a

\[R= \pi_{\mathcal{A}_1}(R) \bowtie \pi_{\mathcal{A}_2}(R) \bowtie...\bowtie\pi_{\mathcal{A}_k}(R)\]

Exemple de décomposition avec perte d’information

\(\mathcal{A}=\{A,B,C\} \quad \Sigma=\{AB\rightarrow C\}\)

Décomposition \(\mathcal{A}_1=\{A,B\} \quad \mathcal{A}_2=\{B,C\}\)

Soit \(R\) la relation

A	B	C
1	2	3
4	2	5

\(\pi_{AB}(R)=\)

A	B
1	2
4	2

\(\pi_{BC}(R)=\)

B	C
2	3
2	5

\(\pi_{AB}(R) \bowtie \pi_{BC}(R)=\)

A	B	C
1	2	3
4	2	5
1	2	5
4	2	3

Algorithme de poursuite

Algorithme de poursuite (chase algorithm)

• Comment déterminer si une décomposition est sans perte d’information?

• Si \(R\) est une relation de schéma \(\mathcal{A}\) on a toujours que

\[R ⊆ \pi_{\mathcal{A}_1}(R) \bowtie \pi_{\mathcal{A}_2}(R) \bowtie...\bowtie\pi_{\mathcal{A}_k}(R)\]

par définition de la jointure naturelle et de la projection

• Le seul problème est que les jointures peuvent générer des tuples supplémentaires
• Mais comme \(R\) est supposée vérifier les DF de \(\Sigma\), l’inclusion inverse est garantie dans certains cas
• Pour le savoir, un algorithme simple existe appelé algorithme de poursuite

Algorithme de poursuite : exemple

Si on remplace le schéma (V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte) par

Vendeur(V#, Vnom, Vville)}
Produit(P#, Pnom, Pville)}
Livraison(V#, P#, Qte)

A-t-on

\[\pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(\texttt{R}) \bowtie \pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pville}}(\texttt{R}) \bowtie \pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(R) \subset \texttt{R} \quad ?\]

Soit \(t\) un tuple dans la jointure

V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g\)

Algorithme de poursuite : exemple

Soit \(t\) un tuple dans la jointure

V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g\)

• \((a, b, c)\in \pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(\texttt{R})\) donc il existe \(e_1, f_1, g_1\) tels que \((a, b, c, d_1, e_1, f_1, g_1) \in \texttt{R}\)

• \((d,e,f) \in \pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pville}}(\texttt{R})\) donc il existe \(a_2, b_2, c_2, g_2\) tels que \((a_2, b_2, c_2, d, e, f, g_2)\in \texttt{R}\)

• \((a,d,g)\in \pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(R)\) donc il existe \(b_3,c_3,e_3,f_3\) tels que \((a,b_3,c_3,d,e_3,f_3,g)\in \texttt{R}\)

• On peut le représenter comme ceci :

	V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b_3\)	\(c_3\)	\(d\)	\(e_3\)	\(f_3\)	\(g\)

Vendeur (resp. Produit, Livraison) désigne l’ensemble des tuples de \(R\) qui se projettent sur \(a,b,c\) (resp. \(d,e,f\) et \(a,d,g\)) lorsque on projette \(R\) sur V#,Vnom,Vville (resp. P#, Pnom, Pville et V#, P#, Qte)

Algorithme de poursuite : exemple

	V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b_3\)	\(c_3\)	\(d\)	\(e_3\)	\(f_3\)	\(g\)

V# ⟶ Vnom, Vville donc \(b_3=b\) et \(c_3=c\)

	V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e_3\)	\(f_3\)	\(g\)

Algorithme de poursuite : exemple (suite)

P#⟶ Pnom, Pville donc \(e_3=e\) et \(f_3=f\)

	V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pville	Qte
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g\)

On a obtenu une ligne égale au tuple \(t=(a,b,c,d,e,f,g)\) donc \(t\in \texttt{R}\) (tous les tuples qui se projettent sur \(a,f,g\) coïncident avec \(t\))

On en déduit que la décomposition est Sans Perte d’Information (SPI)

Algorithme de poursuite : cas général

• Entrée : un schéma \(\mathcal{A}\), une décomposition \(\{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k\}\) et un ensemble \(\Sigma\) de DF

• Pour chaque attribut de \(\mathcal{A}\), choisir un symbole (par exemple \(a\), \(b\), \(c\),…). La correspondance doit être injective.

• Construire un tableau dont les colonnes sont les attributs de \(\mathcal{A}\)

Le tableau a une ligne pour chaque \(\mathcal{A}_i\)

Sur la ligne associée à \(\mathcal{A}_i\), les positions correspondant à \(\mathcal{A}_i\) sont remplies avec les symboles choisis.

Les autres positions sont remplies avec les symboles indicés par \(i\)

• Répéter tant que possible : s’il existe une DF \(X\rightarrow Y\) dans \(\Sigma\) et deux lignes du tableau en accord sur \(X\), égaliser ces deux lignes sur \(Y\)

• Sortie : Si on obtient une ligne sans valeur indicée, la décomposition est sans perte d’information, sinon il y a perte d’information

Commentaires sur l’algorithme de poursuite

L’objectif de l’algorithme de poursuite est de vérifier que tout tuple de \(\pi_{\mathcal{A}_1}(R) \bowtie \pi_{\mathcal{A}_2}(R) \bowtie...\bowtie\pi_{\mathcal{A}_k}(R)\) est aussi un tuple de \(R\)

À l’initialisation, on part d’un tuple de \(\pi_{\mathcal{A}_1}(R) \bowtie \pi_{\mathcal{A}_2}(R) \bowtie...\bowtie\pi_{\mathcal{A}_k}(R)\) qu’on note symboliquement \((a, b, c, \ldots)\) avec des symboles non indicés

Pour chaque \(i \leq k\), on utilise le fait que pour chaque tuple de \(\pi_{\mathcal{A}_i}(R)\) il existe un ensemble de tuples de \(R\) qui coïncident avec \((a, b, c, \ldots)\) sur \(\mathcal{A}_i\). On note génériquement ces tuples de \(R\) en indiçant les noms de variables par \(i\) pour toutes les variables qui ne sont pas dans \(\mathcal{A}_i\)

Chacun des sous-ensembles de tuples indicés par \(i \leq k\) définit un sous-ensemble de tuples de \(R\)

On veut se convaincre que \((a, b, c, \ldots)\) appartient à l’un de ces sous-ensembles

L’algorithme de poursuite utilise les DF de Σ, pour restreindre les \(k\) sous-ensembles

Commentaires (suite)

L’algorithme de poursuite est un algorithme de réécriture

L’algorithme de poursuite est non-déterministe : à chaque étape, il est parfois possible d’invoquer plusieurs DFs pour réécrire une ou plusieurs lignes

Un point important de l’analyse de l’algorithme de poursuite consiste à vérifier que ce non-déterminisme n’est pas un problème : l’algorithme de poursuite termine par un succès ou un échec (blocage) quelle que soit la suite des choix effectués

Preuve ().

Algorithme de poursuite : exemple 2

Considérons l’exemple : \(\mathcal{A}=\{A,B,C,D\}\) avec \(\mathcal{A}_1=\{A,B\}\), \(\mathcal{A}_2=\{B,C\}\) et \(\mathcal{A}_3=\{C,D\}\)

Soit \(\Sigma=\{{C}\rightarrow{D}; {B}\rightarrow{A}\}\).

Soit \(t=(a,b,c,d)\). Soit \(t_1,t_2,t_3\) les tuples de \(R\) suivants:

	A	B	C	D
\(t_2\)	\(a_2\)	b	c	\(d_2\)
\(t_3\)	\(a_3\)	\(b_3\)	c	d

On a pris \(c_1,d_1, a_2,d_2, a_3,b_3\) comme valeurs variables et a,b,c,d comme constantes

Algorithme de poursuite - exemple 2

	A	B	C	D
\(t_1\)	a	b	\(c_1\)	\(d_1\)
\(t_2\)	\(a_2\)	b	c	\(d_2\)
\(t_3\)	\(a_3\)	\(b_3\)	c	d

Par la dépendance \({B}\rightarrow{A}\), il vient :

	A	B	C	D
\(t_1\)	a	b	\(c_1\)	\(d_1\)
\(t_2\)	a	b	c	\(d_2\)
\(t_3\)	\(a_3\)	\(b_3\)	c	d

Algorithme de poursuite : exemple 2

Par la dépendance \({C}\rightarrow{D}\), il vient :

	A	B	C	D
\(t_1\)	a	b	\(c_1\)	\(d_1\)
\(t_2\)	a	b	c	d
\(t_3\)	\(a_3\)	\(b_3\)	c	d

On a bien fait apparaître \(t\) qui appartient donc à \(R\).

Algorithme de poursuite - exemple 3

Considérons toujours l’exemple : \(\mathcal{A}=\{A,B,C,D\}\) avec

\(\mathcal{A}_1=\{A,B\}\), \(\mathcal{A}_2=\{B,C\}\) et \(\mathcal{A}_3=\{C,D\}\)

Mais avec \(\Sigma=\{{B}\rightarrow{AD}\}\).

A	B	C	D
a	b	\(c_1\)	\(d_1\)
\(a_2\)	b	c	\(d_2\)
\(a_3\)	\(b_3\)	c	d

Dans ce cas, en utilisant la seule DF \({B}\rightarrow{AD}\), on obtient \(a_2=a\) et \(d_1=d_2\) :

A	B	C	D
a	b	\(c_1\)	\(d_1\)
a	b	c	\(d_1\)
\(a_3\)	\(b_3\)	c	d

Note

Mais on ne peut aller plus loin : la jointure des projections contient des tuples qui ne sont pas dans la relation originelle

Décomposition FNBC SPI

Algorithme

\begin{algorithm} \caption{Décomposition FNBC} \begin{algorithmic} \Procedure{DecompositionFNBC}{$\mathcal{A}, Σ$} \State \Comment{Initialisation de la décomposition} \State $D ← \{\mathcal{A}\}$ \State \While{$\exists \mathcal{B} \in D$ not in BCNF w.r.t. $\Sigma \models X → X^+ \cap \mathcal{B}$, $X \subsetneq \mathcal{B}$} \State $Y \leftarrow X^+ \cap \mathcal{B} \setminus X\qquad$ \Comment{DF non triviale! $Y \neq \emptyset$} \State $D \leftarrow D \setminus \{\mathcal{B}\} \cup \{ X \cup Y, \mathcal{B} \setminus Y \}$ \EndWhile \State \Return $D$ \EndProcedure \end{algorithmic} \end{algorithm}

Remarques

Proposition

• L’algorithme termine

• Les éléments de la décomposition finale sont en FNBC

• La décomposition est Sans Perte d’Information (SPI)

Preuves

• La terminaison est triviale : à chaque itération le nombre de parties de \(\mathcal{A}\) dans \(D\) augmente de \(1\) et ce nombre ne peut dépasser \(\# \mathcal{A}\)

• La seconde propriété est triviale aussi

• La propriété SPI se vérifie avec l’algorithme de poursuite (et son analyse): chaque itération de la boucle While est SPI.

Fin

Dépendances Fonctionnelles. Fermetures. Décomposition FNBC